HIT-EV.DE – EXPECTED VALUE IN POKER, BLACKJACK & SPORTWETTEN

EV ist eine Abkürzung für Expected Value, durch das man die durchschnittliche Gewinnerwartung ausdrückt und damit ein Glücksspiel wie Poker oder Blackjack zu einem Geschicklichkeitsspiel machen kann.

Expected Value beim Poker und Blackjack

In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist der erwartete Wert einer zufälligen Variable intuitiv der langfristige Durchschnittswert von Wiederholungen des gleichen Experiments, das sie darstellt. So ist beispielsweise der erwartete Wert beim Walzen einer sechseitigen Matrize 3,5, da der Durchschnitt aller auftretenden Zahlen 3,5 beträgt, wenn sich die Anzahl der Walzen der Unendlichkeit nähert (siehe § Beispiele für Details). Mit anderen Worten, das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass das arithmetische Mittel der Werte fast sicher dem erwarteten Wert entspricht, wenn sich die Anzahl der Wiederholungen der Unendlichkeit nähert. Der erwartete Wert wird auch als Erwartung, mathematische Erwartung, EV, Mittelwert, Mittelwert, Mittelwert oder erster Moment bezeichnet.

Praktischer ausgedrückt, ist der erwartete Wert einer diskreten Zufallsvariablen der wahrscheinlichkeitsgewichtete Durchschnitt aller möglichen Werte. Mit anderen Worten, jeder mögliche Wert, den die Zufallsvariable annehmen kann, wird mit ihrer Eintrittswahrscheinlichkeit multipliziert, und die resultierenden Produkte werden summiert, um den erwarteten Wert zu erhalten. Das gleiche Prinzip gilt für eine absolut kontinuierliche Zufallsvariable, mit der Ausnahme, dass ein Integral der Variable in Bezug auf ihre Wahrscheinlichkeitsdichte die Summe ersetzt. Die formale Definition subsumiert beides und funktioniert auch bei Verteilungen, die weder diskret noch absolut kontinuierlich sind; der erwartete Wert einer Zufallsvariablen ist das Integral der Zufallsvariablen in Bezug auf ihr Wahrscheinlichkeitsmaß.

Der erwartete Wert existiert nicht für Zufallsvariablen mit einigen Verteilungen mit großen „Tails“, wie z.B. die Cauchy-Verteilung. Für Zufallsvariablen wie diese verhindern die Longtails der Verteilung eine Konvergenz der Summe oder des Integrals.

Der erwartete Wert ist ein wichtiger Aspekt bei der Charakterisierung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung; er ist eine Art von Standortparameter. Im Gegensatz dazu ist die Varianz ein Maß für die Streuung der möglichen Werte der Zufallsvariablen um den erwarteten Wert. Die Varianz selbst wird durch zwei Erwartungen definiert: Sie ist der erwartete Wert der quadratischen Abweichung des Wertes der Variablen vom erwarteten Wert der Variablen (var(X) = E[(X – E[X])2] = E(X2) -[E(X)]2).

Der erwartete Wert spielt in verschiedenen Kontexten eine wichtige Rolle. In der Regressionsanalyse wünscht man sich eine Formel in Form von beobachteten Daten, die eine „gute“ Schätzung des Parameters liefert, die die Wirkung einer erklärenden Variablen auf eine abhängige Variable ergibt. Die Formel gibt verschiedene Schätzungen unter Verwendung verschiedener Datenproben an, so dass die Schätzung, die sie liefert, selbst eine Zufallsvariable ist. Eine Formel gilt in diesem Zusammenhang typischerweise als gut, wenn sie ein unvoreingenommener Schätzer ist – das heißt, wenn der erwartete Wert der Schätzung (der Mittelwert, den sie über eine beliebig große Anzahl von Einzelproben ergeben würde) gleich dem wahren Wert des gewünschten Parameters dargestellt werden kann.

In der Entscheidungstheorie, insbesondere bei der Auswahl unter Unsicherheit, wird ein Agent als eine optimale Wahl im Zusammenhang mit unvollständigen Informationen beschrieben. Für risikoneutrale Agenten besteht die Wahl darin, die erwarteten Werte unsicherer Größen zu verwenden, während es für risikoscheue Agenten darum geht, den erwarteten Wert einer Zielfunktion wie einer von Neumann-Morgenstern Utility-Funktion zu maximieren. Ein Beispiel dafür, wie man den erwarteten Wert für optimale Entscheidungen nutzen kann, ist das Gordon-Loeb-Modell der Informationssicherheitsinvestitionen. Nach dem Modell kann man daraus schließen, dass der Betrag, den ein Unternehmen für den Schutz von Informationen ausgibt, in der Regel nur ein kleiner Bruchteil des erwarteten Verlustes (d.h. der erwartete Wert des Verlustes, der sich aus einem Cyber- oder Informationssicherheitsverstoß ergibt) sein sollte.

EXPECTED VALUE BEIM POKER

Expected Value Poker

Um den erwarteten Wert einer Hand beim Poker zu berechnen, müssen wir den Preis für den Eintritt in einen Pot, die Wahrscheinlichkeit, ihn zu gewinnen (z.B. ein Unentschieden zu erreichen) und den Wert des Pots insgesamt berücksichtigen. Die Formel für den erwarteten Wert beim Poker lautet:

EV = (Größe des Pots x Gewinnwahrscheinlichkeit) – Kosten für die Eingabe.

Beispiel zur Berechnung des EV im Poker: Nehmen wir an, wir haben einen Pot im Wert von $50 und es wird uns $10 kosten, ihn zu betreten. Die Gewinnchancen für den Pot betragen 25%. Das bedeutet, dass der erwartete Wert für den Eintritt in den Pot 60*0,25 – 10 = $5 sein wird. Da die Zahl positiv ist (5>0), können wir sagen, dass es langfristig eine profitable Entscheidung sein wird. Für weitere Informationen über das Treffen von Poker-Entscheidungen kannst du den pokerbankrollblog.com besuchen.

Am wichtigsten ist, dass die Verwendung des erwarteten Wertes als mathematischer Leitfaden beim Poker mehr erfordert, als nur das Erlernen der Formel. Wenn Sie zum Beispiel ein No Limit Holdem Cash Game spielen und eine Drawing Hand haben, müssen Sie genau wissen, wie hoch Ihre Chancen sind, Ihre Hand zu vervollständigen, um den Pot zu gewinnen (alias Ihre Outs zählen). Sie müssen daher lernen, wie Sie Ihre Pot-Quoten und „Outs“ beim Poker berechnen können.

EXPECTED VALUE BEIM BLACKJACK

Gewinnerwartung beim Blackjack / Expected Value

Im vorherigen Abschnitt haben wir das Konzept des erwarteten Wertes (EV) im Zusammenhang mit Poker erklärt. Ein weiteres Kartenspiel, bei dem Expected Value eine große Rolle spielt ist das Casinospiel Blackjack.

EV hat viele Namen: langfristige Erwartung, Fair Value oder erwarteter Wert. Die meisten Menschen nennen es einfach EV. EV ist kein einzigartiges Konzept für Blackjack. Sie finden es in Poker, Baccarat, Craps und fast jedem Casino (und einigen Nicht-Kasino-Spielen).

Man findet es sogar in der unpräzisen Welt der professionellen Sportwetten. Es ist am nützlichsten bei Poker und Blackjack – Spielen, bei denen wichtige Entscheidungen auf halbem Weg durch eine Hand getroffen werden müssen. Es ist auch nützlich bei der Wettgrößenbestimmung für Sportwetten.

EV wird am besten als der „momentan Wert“ einer bestimmten Entscheidung angesehen.

Lassen Sie uns ein Beispiel nennen. Angenommen, Sie platzieren eine Wette auf einen Blackjack-Tisch für $1.000. Wie es der Zufall wollte, erhalten Sie zwei Bildkarten für insgesamt 20, und der Dealer hat eine 6 als Upcard.

Das sieht gut aus! Natürlich stehst du auf deinem 20. Was ist diese Hand in diesem Moment wert? Wenn Sie diese Hand plötzlich verkaufen müssten, bevor der Dealer seine Karten zog, was wäre der faire Preis? Natürlich ist es nicht garantiert, dass Sie $1.000 gewinnen, also muss der faire Preis weniger als $1.000 betragen, aber wie viel weniger? $900? $800? Bevor Sie weiterlesen, denken Sie darüber nach – würden Sie die Gewinne dieser Hand an jemanden für 800 $ verkaufen? Ja oder nein? Die meisten Leute würden nein antworten. 20 ist ein ziemlich gutes Blatt und der Dealer hat nur eine 6!

Offensichtlich gibt es hier drei Möglichkeiten. Der Dealer könnte bis 21 ausziehen und Sie verlieren unglücklicherweise, der Dealer könnte bis 20 ausziehen und Sie erhalten einen Push (auch bekannt als Stand-off), oder der Dealer könnte 19 oder schlechter werden, und Sie gewinnen. Ich habe unzählige Simulationen und mathematische Berechnungen über Blackjack in mehr als 20 Jahren durchgeführt, und ich kann Ihnen sagen, dass, wenn der Händler mit einer 6 beginnt, er 21 insgesamt 9,7% der Zeit, 20 insgesamt 10,2% der Zeit und 19 oder schlechter die restlichen 80,1% der Zeit erhält. Also zurück zu unserer HK$1.000 Wette. 80,1% der Zeit, in der wir $1.000 gewinnen, 10,2% der Zeit, in der wir weder gewinnen noch verlieren, und 9,7% der Zeit, in der wir unglücklicherweise $1.000 verlieren. Das Nettoergebnis ist, dass wir über sehr viele Hände hinweg im Durchschnitt 704 $ für jedes Mal gewinnen, wenn wir 20 gegen die 6 des Dealers mit einem Einsatz von 1.000 $ gewinnen. Eine weitere Denkweise ist, dass der EV dieser Situation +70,4% beträgt. Der faire Preis für diese Hand ist also $704 und wenn Ihnen jemand $800 (plus die ursprüngliche Wette von $1.000 natürlich) angeboten hat, dann sollten Sie die $1.800 nehmen und laufen! Es ist ein Gewinn von 96 Dollar!

Was bringen diese Berechnungen?

Nun, du kannst es benutzen, um Entscheidungen zu berechnen. Z.B. mögen einige Leute ihre Zehner aufteilen, wenn der Händler sechs hat. Viele erfahrene Spieler sagen, dass sie verrückt sind! Sind sie das? Mal sehen.

Wir haben bereits festgestellt, dass es +70,4% wert ist, auf 20 gegenüber einer 6 zu stehen. Was ist, wenn wir uns trennen? Die Berechnung des Wertes dieser einzelnen zehn Karten gegenüber der 6 des Händlers ist viel komplizierter als das obige Beispiel, da Sie die EVs aller möglichen Blätter berechnen müssen, die Sie erhalten könnten, wenn Sie die zehn Punkte erreichen. Es ist viel zu kompliziert für diesen Artikel, aber vertrauen Sie uns, wenn wir Ihnen sagen, dass wir die Zahlen geknirscht haben und es herauskommt, dass jeder Zehnte allein einen EV von +28,8% hat. Ja, es ist eine positive Zahl, aber nicht wirklich so hoch. Denke jetzt daran, wenn du dich teilst, wirst du zwei dieser +28,8% Zehner haben, also was würdest du bevorzugen? Zwei Dinge im Wert von +28,8 oder eine Sache im Wert von +70,4?

Natürlich ist die eine Sache im Wert von 70,4 besser, also ist es besser, bei 20 zu bleiben, als die Zehner zu teilen. Sei nicht gierig! Tatsächlich stellt sich heraus, dass es besser ist, auf 20 zu stehen, als die Zehner gegen alle zehn möglichen Dealer-Upcards (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 und Ass) aufzuteilen, so dass es nie korrekt ist, Zehner zu teilen (es gibt eine sehr fortgeschrittene Ausnahme von dieser Regel, aber die werden Sie lernen, wenn Sie viele Jahre intensiv Blackjack gespielt haben.

Da haben wir es also – diese zehn Splitter sind doch verrückt.

Sie können EV-Berechnungen wie diese verwenden, um alle Arten von Blackjack-Entscheidungen auszuarbeiten. Zum Beispiel, was ist, wenn Sie 12 haben und der Dealer eine 3 hat? Einige Leute sagen, dass sie stehen sollen und andere sagen, dass sie schlagen sollen. Wer hat Recht? Wir können Ihnen die Antwort geben, die Leute, die sagen, dass Treffer richtig sind. Das Erreichen der 12 hat einen EV von -23,3% und einen Stand von -25,2%.

Nicht viel darin, und Sie erwarten, zu verlieren, egal was Sie tun, aber denken Sie daran, dass das gesparte Geld genauso wertvoll ist wie das gewonnene Geld. Besser 23,3% verlieren als 25,2% verlieren. Ich weiß, dass dies kein großer Trost ist, wenn man die 12 trifft und eine Bildkarte erhält und 100% seiner Wette verliert! Aber es ist eine Tatsache, dass Sie auf lange Sicht finanziell besser dran sind, indem Sie alle Ihre 12er gegen drei schlagen.

Zum Glück muss man die Berechnungen nicht ständig selbst im Kopf durchführen. Das tolle am Blackjack ist, dass diese Aufgabe bereits vor vielen Jahren von Blackjack-besessenen Mathematikern gelöst wurde. Sie haben in den 1960er Jahren einen Weg gefunden beim Blackjack langfristig einen positiven Erwartungswert (+EV) zu haben: Die Blackjack Strategie! Diese Tabelle gibt in jeder Situation die Spielentscheidung an, die den größten erwarteten Wert hat. Bei manchen Entscheidungen kann man mit der Hilfe der Basisstrategie-Tabelle den Gewinn maximieren. In anderen Fällen hilft die Tabelle in Situationen mit -EV so wenig wie möglich zu verlieren. Genial, oder!? Dann sind wir jetzt alle reich?

Leider haben die Casinos natürlich was dagegen, dass jeder beim Blackjack gewinnen kann. Im Laufe der Zeit wurden Regeln erfunden, die den Hausvorteil des Casinos wieder anwachsen ließen. Es wurde immer schwerer Gewinn zu machen. Allerding gibt es nach wie vor die Möglichkeit mit dem Karten zählen einen positiven Erwartungswert zu erreichen, wenn man ein Casino mit entsprechend spielerfreundlichen Regeln findet.

Jetzt verstehen Sie das Konzept von EV besser. Es ist ein Konzept, das von allen erfahrenen Spielern verstanden wird, egal ob es sich um Casinospieler, Sportwettenspieler oder Pokerspieler handelt. Sie müssen nicht den Entscheidungen folgen, die EV Ihnen sagt, wenn Sie spielen, aber ich kann Ihnen versichern, dass alle Experten das tun.

EXPECTED VALUE BEIM SPORTWETTEN

Expected Value ist der zu erwartende Wert einer Sportwette im Laufe der Zeit. Es ist das Maß dafür, was ein Spieler erwarten kann, bei jeder Wette, die auf die gleichen Quoten gesetzt wird, immer wieder zu gewinnen oder zu verlieren.

Ein positiver Erwartungswert (+EV) bedeutet Gewinn im Laufe der Zeit, während ein negativer Wert (-EV) einen Verlust im Laufe der Zeit bedeutet.

Selbstverständlich gilt: Je höher der EV, desto höher der Value der Wette.

Um Expected Value beim Sportwetten am einfachsten zu verstehen gliedern wir das Konzept in drei Teile: warum es wichtig ist, wie es berechnet wird und wie man Wetten mit positivem EV finden kann.

Warum Expected Value wichtig ist

Neue Sportwetter denken oft, dass sie auf „Gewinner“ setzen sollten. Sie schauen sich ein Spiel an und setzen auf das Team, von dem sie glauben, dass es gewinnt. Diese Amateursport-Fans werden völlig verblüfft sein, wenn sie erfahren, dass man so langfristig nichts gewinnen kann.

Viele begreifen nicht, dass es manchmal oder sogar meistens besser ist auf Teams zu setzen, die nicht Favorit sind aber dafür eine bessere Quote haben.

Warum ist das so? Obwohl man denkt, das wird ein sicherer Sieg, kann man sich oft täuschen. Es gibt nicht viele Menschen, die einen Gewinner mit so hoher Genauigkeit erraten können, dass sie langfristig profitabel wetten. Dazu muss die Trefferquote höher sein als der Kehrbruch der Buchmacher-Quote. Und wer das nicht versteht, versteht nicht, wie er Gewinn machen kann.

Tatsächlich verdienen Sportwetten-Anbieter genau so das meiste Geld. Hobby-Zocker denken, dass sie das System mit ihrem „Sportwissen“ überlisten können. Wenn das der Fall wäre, könnte jeder, der sich genügend Sport anschaut, reich sein.

Sport ist unberechenbar, aber der erwartete Wert nicht.

Das Argument kann lauten, dass jemand, der EV versteht und anwenden kann, aber sehr wenig Sportwissen hat, beim Sportwetten mehr gewinnt als jemand, der viel Sportwissen hat aber EV nicht versteht.

Berechnung des Expect Values

Die Berechnung des zu erwarteten Wertes für eine Sportwette erfordert nicht viel Aufwand. Multiplizieren Sie die Gewinnwahrscheinlichkeit mit dem Betrag, der pro Wette gewonnen werden könnte, und ziehen Sie die Wahrscheinlichkeit des Verlusts mit dem Betrag ab, der pro Wette verloren gehen könnte. Die Formel sieht so aus:

Expected Value = Gewinnwahrscheinlichkeit – ( 1 / Quote )

Ist die Quote 1.2 ist der Kehrwert 83,33%. Die Gewinnwahrscheinlichkeit muss also höher als 83,33% sein, damit wir +EV haben.

Um die Gewinnwahrscheinlichkeit zu ermitteln muss man selbst genug Erfahrung haben um abschätzen zu können in wievielen Fällen das Ergebnis so ausfällt, wie man es vermutet.

Finden von Value-Wetten

Das wichtigste ist aber das finden von Wetten mit positivem Expected Value kurz +EV.

Schließlich kommt hier ein wenig gesunder Menschenverstand und Sportwissen ins Spiel.

Im Grunde genommen bedeutet das Finden von Valuebets, dass man nach Möglichkeiten sucht, bei denen Sportwetten-Anbieter höhere Quoten bieten, als man erwarten würde.

Also, geht es darum einen Bereich zu finden, in dem die Wettanbieter ein wenig daneben liegen könnten. Hier berechnen Sie den EV und überprüfen Sie, wie groß der Wert einer Wette wirklich wäre.

Es gibt ein paar Dinge, die ein Wettender bei der Suche nach Wertwetten beachten sollte.

Eine +EV-Wette bedeutet nicht immer, dass die Wette Geld gewinnt.
Die Wette muss noch gewonnen werden! EV zeigt nur an, ob die Wette ein guter Wert ist oder nicht. Auch hier funktioniert EV als fantastisches Werkzeug, aber eine +EV-Wette auf einen Außenseiter wird nicht immer gewinnen. Deswegen ist die Quote so wichtig! Je höher die Quote, desto weniger Wetten dieser Art muss man gewinnen um profitabel zu sein.

Hat Bayern München eine Sieg-Quote von 1.2 bedeutet das, dass Bayern dieses – oder ähnliche Spiele – in 83,33 % gewinnt. Das ist sehr viel! Ein Unentschieden oder eine Niederlage ist immer im Bereich des möglichen. Daher kann es sein, dass ein glasklarer Favorit kein Value bietet.

Im Gegenzug dazu muss man bei einer Quote von 2.5 auf einen Außenseiter nur etwas mehr als in 40% der Wetten richtig liegen um Profit zu machen. Langfristig ist das Wetten auf Außenseiter daher lukrativer.

EXPECTED VALUE IN DER FUSSBALL BUNDESLIGA

Es gibt zahlreiche Youtube-Kanäle, Facebook-Gruppen und Tippspiele, bei denen Tipps für die Fußball-Bundesliga abgegeben werden. Die wenigsten verstehen allerdings, was Expected Value bedeutet und begründen ihre Bundesliga Prognosen rein auf der Tabelle oder den letzten Spielen einer Mannschaft. Offensichtliche Statistiken, die zu wenig aussagen um MEHR ZU WISSEN ALS DER BUCHMACHER.

Viele Tippster wetten auf den sogenannten „Mainstream“. Das sind einfache Wetten in großen Ligen auf Sieg von Heimmannschaft oder Auswärtsmannschaft. Die beliebteste Wettart heißt 3-Wege-Wette, weil es die drei möglichen Szenarien beinhaltet: Heimsieg (1), Unentschieden (X) und Auswärtssieg (2). Ein +EV findet man meist dort, wo ihn die Masse der Laien nicht vermutet:

  • Bei Auswärtsteams
  • Außenseitern (höhere Quote)
  • Wenig Toren (Under 2.5 Tore)
  • Asiatisches Handicap (Erklärung)

Diese Wettarten berücksichtigen viele Youtuber und Tippster in Ihren Vorhersagen nicht. Deswegen werden sie es nicht schaffen erfolgreich sein. Langfristig Profit mit der Bundesliga Tipphilfe von Stadtsportzal zu machen.

Nur, wer sich neben dem Sport auch ein gewisses Grundverständnis für Mathematik und Statistik hat, kann den Traum vom Geld verdienen durch Glücksspiel irgendwann vielleicht realisieren. Es gibt in diesem Bereich viele Bücher. Auf dem deutschen Markt ist das Thema allerdings sehr schwach vertreten, so dass man kaum ein gutes Werk findet, bei dem der Autor wirklich Ahnung vom Thema hat. Die deutschen Sportwetten-Autoren haben natürlich keine Erfolge mit Sportwetten oder geben im Buch keine konkreten Tipps. Hier ist das englische Buch „Squares & Sharps, Suckers & Sharks“ als einziges zu empfehlen, weil es die Zusammenhänge zwischen Quoten und Massenpsychologie erklärt.

GESCHICHTE

Die Idee des erwarteten Wertes entstand in der Mitte des 17. Jahrhunderts aus der Erforschung des so genannten Punktproblems, das darauf abzielt, die Einsätze fair zwischen zwei Spielern aufzuteilen, die ihr Spiel beenden müssen, bevor es richtig beendet ist. Dieses Problem war seit Jahrhunderten diskutiert worden, und im Laufe der Jahre wurden viele widersprüchliche Vorschläge und Lösungen vorgeschlagen, als es 1654 dem Blaise Pascal vom französischen Schriftsteller und Amateurmathematiker Chevalier de Méré vorgelegt wurde. Méré behauptete, dass dieses Problem nicht gelöst werden könne und dass es zeigte, wie fehlerhaft die Mathematik sei, wenn es um ihre Anwendung in der realen Welt gehe. Pascal, ein Mathematiker, wurde provoziert und entschlossen, das Problem ein für allemal zu lösen. Er begann, das Problem in einer inzwischen berühmten Serie von Briefen an Pierre de Fermat zu diskutieren. Schon bald fanden sie beide unabhängig voneinander eine Lösung. Sie lösten das Problem auf verschiedene Weise, aber ihre Ergebnisse waren identisch, weil ihre Berechnungen auf dem gleichen Grundprinzip basierten. Das Prinzip ist, dass der Wert eines zukünftigen Gewinns direkt proportional zur Chance auf ihn sein sollte. Dieses Prinzip schien für beide von ihnen selbstverständlich geworden zu sein. Sie waren sehr erfreut darüber, dass sie im Wesentlichen die gleiche Lösung gefunden hatten, und das wiederum machte sie absolut überzeugt, dass sie das Problem endgültig gelöst hatten. Sie haben ihre Ergebnisse jedoch nicht veröffentlicht. Sie informierten nur einen kleinen Kreis von gemeinsamen wissenschaftlichen Freunden in Paris darüber.

Drei Jahre später, 1657, veröffentlichte der niederländische Mathematiker Christiaan Huygens, der gerade Paris besucht hatte, eine Abhandlung (siehe Huygens (1657)) „De ratiociniis in ludo aleæ“ über Wahrscheinlichkeitstheorie. In diesem Buch betrachtete er das Problem der Punkte und stellte eine Lösung vor, die auf dem gleichen Prinzip wie die Lösungen von Pascal und Fermat basiert. Huygens erweiterte auch den Begriff der Erwartung um Regeln, wie man Erwartungen in komplexeren Situationen als dem ursprünglichen Problem berechnen kann (z.B. für drei oder mehr Spieler). In diesem Sinne kann dieses Buch als der erste erfolgreiche Versuch angesehen werden, die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie zu legen.

Im Vorwort zu seinem Buch schrieb Huygens: „Man muss auch sagen, dass sich seit einiger Zeit einige der besten Mathematiker Frankreichs mit dieser Art von Zahnstein beschäftigt haben, so dass mir niemand die Ehre der ersten Erfindung zuschreiben sollte. Das gehört nicht mir. Aber diese Gelehrten, obwohl sie sich gegenseitig auf die Probe stellen, indem sie einander viele schwer zu lösende Fragen vorschlagen, haben ihre Methoden verborgen. Ich musste daher diese Angelegenheit untersuchen und vertiefen, indem ich bei den Elementen anfing, und es ist mir aus diesem Grund unmöglich zu behaupten, dass ich sogar vom gleichen Prinzip ausgegangen bin. Aber schließlich habe ich festgestellt, dass sich meine Antworten in vielen Fällen nicht von ihren unterscheiden.“ (zitiert von Edwards (2002)). So erfuhr Huygens 1655 während seines Besuchs in Frankreich von de Mérés Problem; später 1656 erfuhr er aus seiner Korrespondenz mit Carcavi, dass seine Methode im Wesentlichen die gleiche wie die von Pascal war; so dass er vor der Drucklegung seines Buches im Jahr 1657 von Pascals Priorität in diesem Bereich wusste.

…. dieser Vorteil in der Theorie des Zufalls ist das Produkt der erhofften Summe durch die Wahrscheinlichkeit, sie zu erhalten; es ist die Teilsumme, die sich ergeben sollte, wenn wir nicht die Risiken des Ereignisses eingehen wollen, indem wir annehmen, dass die Aufteilung proportional zu den Wahrscheinlichkeiten erfolgt. Diese Aufteilung ist die einzige gerechte, wenn alle seltsamen Umstände beseitigt sind; denn ein gleiches Maß an Wahrscheinlichkeit gibt ein gleiches Recht auf die erhoffte Summe. Wir werden diesen Vorteil mathematische Hoffnung nennen.

Weder Pascal noch Huygens verwendeten den Begriff „Erwartung“ im modernen Sinne. Insbesondere schreibt Huygens: „Dass meine Chance oder Erwartung, etwas zu gewinnen, genau so viel wert ist, wie Sie mir in der gleichen Chance und Erwartung bei einem fairen Lay beschaffen würden. … Wenn ich a oder b erwarte und die gleiche Chance habe, sie zu gewinnen, ist meine Erwartung a+b/2 wert.“ Mehr als hundert Jahre später, 1814, veröffentlichte Pierre-Simon Laplace seinen Traktat „Théorie analytique des probabilités“, in dem der Begriff des erwarteten Wertes explizit definiert wurde:

Die Verwendung des Buchstabens E zur Bezeichnung des erwarteten Wertes geht auf W.A. Whitworth im Jahr 1901 zurück, der eine Schrift E verwendete. Das Symbol ist beliebt geworden, da es für englische Schriftsteller „Erwartung“, für Deutsche „Erwartungswert“, für Spanier „Esperanza matemática“ und für Franzosen „Espérance mathématique“ bedeutete.